Je vais faire un petit calcul ici, mais s'il vous plaît, passez aux résultats si vous le souhaitez.
Calcul
Les étoiles sont sphériques et statiques , donc métrique près de leur surface (photosphère) et à l'extérieur sur Schwarzschild. Par conséquent, la composante métrique temps-temps sur la surface est:
$$ g_ {44} = 1- \ dfrac {R_ {grav, *}} {R _ *} $$,
où $ R _ * $ est le rayon de l'étoile et $ R_ {grav, *} $ est son rayon gravitationnel.
Ensuite, si la vitesse de l'étoile est beaucoup plus petite que la vitesse de la lumière, le redshift gravitationnel dans l'ordre le plus bas ne dépend pas de cette vitesse. Par conséquent, l'étoile émettrice peut être supposée au repos.
La lumière de l'étoile se propage le long de la géodésique isotrope en métrique de Schwarzschild. La géodésique est décrite par lagrangien: $$ \ mathcal {L} = \ dfrac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} k ^ {\ mu} k ^ {\ nu} $$, où $ k ^ \ mu = (\ vec {k}, \ omega / c) $ est le 4-vecteur de l'onde lumineuse et $ \ omega $ est la fréquence de la lumière. Puisque la métrique est statique $ \ dfrac {d \ mathcal {L}} {dk ^ 4} = g _ {\ mu 4} k ^ 4 = g_ {44} k ^ 4 = \ textrm {const} $. Par conséquent:
$$ (1- \ dfrac {R_ {grav, *}} {R _ *}) \ omega = \ textrm {const} $$
pour la lumière comme il voyage vers nous. Donc:
$$ \ omega_ {obs} = \ omega_ {emitted} (1- \ dfrac {R_ {grav, *}} {R _ *}) \ Longleftrightarrow \ lambda_ {obs} = \ dfrac {\ lambda_ {emitted}} {(1- \ dfrac {R_ {grav, *}} {R _ *})} $$, où $ \ lambda $ est la longueur d'onde.
Redshift est simplement $ z = \ dfrac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {emitted}} {\ lambda_ {emitted}} $. En supposant que $ z \ ll 1 $ one a une formule simple: $$ z_0 = \ dfrac {R_ {grav, *}} {R _ *} $$
Si $ z_0 $ s'avère comparable à l'unité, il faut calculer $$ z = \ dfrac {1} {1-z_0} -1, $$ qui donne alors la valeur correcte de redshift. Notez que redshift ne dépend pas de $ \ lambda $.
De jolies formes numériques pour cela proviendraient de $ R_ {grav, *} = 2.95 \ textrm {km} \ dfrac {M _ *} {M_ \ odot} $:
$$ z_0 = 0,295 \ dfrac {10 \ textrm {km}} {R _ *} \ dfrac {M _ *} {M_ \ odot} \ Longleftrightarrow z_0 = 4,24 \ cdot 10 ^ {-6} \ dfrac {R_ \ odot} {R _ *} \ dfrac {M _ *} {M_ \ odot} $$
Il est également agréable d'exprimer le redshift dans $ \ textrm {km} / \ textrm {s} $:
$$ z_0 = 8.84 \ cdot 10 ^ 4 \ dfrac {10 \ textrm { km}} {R _ *} \ dfrac {M _ *} {M_ \ odot} \ textrm {km / s} \ Longleftrightarrow z_0 = 1.27 \ dfrac {R_ \ odot} {R _ *} \ dfrac {M _ *} {M_ \ odot} \ textrm {km / s} $$
Résumé et discussion
En résumé, lorsque redshift $ z $ est petit, il est approximé par $ z_0 $, les expressions numériques pour lesquelles sont données juste au-dessus. Si $ z_0 $ s'avère être non petit, on peut calculer $ z = \ dfrac {1} {1-z_0} -1 $, ce qui donne alors un redshift correct.
Etoiles
On peut voir que:
- Pour les étoiles normales comme le Soleil ($ R _ * \ sim R_ \ odot, M _ * \ sim M_ \ odot $) le redshift est d'ordre $ 1 \ textrm {km / s} $. C'est presque important car les étoiles du voisinage solaire se déplacent normalement à la vitesse de quelques dizaines de $ \ textrm {km / s} $
- Pour les naines blanches ($ R _ * \ sim 10 ^ 4 \ textrm { km}, M _ * \ sim M_ \ odot $) redshift est plusieurs fois $ 100 \ textrm {km / s} $ et devient très important lors de la bonne spectroscopie. On en tient généralement compte.
- Pour les étoiles à neutrons ($ R _ * \ sim 10 \ textrm {km}, M _ * \ sim M_ \ odot $) le redshift est très important $ z \ sim 0,4 $, mais les étoiles à neutrons sont de toute façon des objets relativistes généraux, donc on s'y attendrait à l'avance.
Donc, en résumé, lors de la mesure de la lumière d'étoiles individuelles, il faut tenir compte des décalages gravitationnels vers le rouge pour obtenir des résultats précis , et en particulier lors de l'étude des naines blanches.
Groupes d'objets
Maintenant, les mêmes formules sont correctes dans un ordre de grandeur lorsqu'elles sont appliquées pour des volumes plus importants d'espace, avec $ R _ * $ et $ M _ * $ signifiant maintenant la taille du volume et la masse à l'intérieur. Cependant, comme les distances interstellaires typiques sont de l'ordre de parsec et $ \ textrm {pc} = 3 \ cdot10 ^ {13} \ textrm {km} $, $ z $ résultant sera très petit même pour des groupes denses comme les amas globulaires ( $ z $ est d'ordre $ 10 ^ {- 8} $ dans ce cas). Ainsi, les groupes d'objets n'affectent pas le décalage vers le rouge.
Surdensités cosmologiques
Néanmoins, des sous-densités d'échelle cosmologique de l'ordre de 100 $ \ textrm {Mpc} $ peuvent affecter le décalage vers le rouge apparent des objets distants, comme nous serions à l'intérieur de la sous-densité. Cependant, une telle sous-densité devrait être significativement symétrique autour de nous afin d'expliquer le manque d'anisotropie correspondante dans le fond cosmique des micro-ondes. Par conséquent, cela est considéré comme peu probable.